A. Uji
Hipotesis
1. Pengertian
uji hipotesis
Uji Hipotesis adalah cabang Ilmu
Statistika Inferensial yang dipergunakan untuk menguji kebenaran suatu
pernyataan secara statistik dan menarik kesimpulan apakah menerima atau menolak
pernyataan tersebut. Pernyataan ataupun asumsi sementara yang dibuat untuk diuji kebenarannya tersebut
dinamakan dengan Hipotesis (Hypothesis) atau Hipotesa. Tujuan dari Uji
Hipotesis adalah untuk menetapkan suatu dasar sehingga dapat mengumpulkan bukti
yang berupa data-data dalam menentukan keputusan apakah menolak atau menerima
kebenaran dari pernyataan atau asumsi yang telah dibuat. Uji Hipotesis juga
dapat memberikan kepercayaan diri dalam pengambilan keputusan
yang bersifat Objektif.
2. Jenis-Jenis
Hipotesis
B. Uji
Proporsi
Proporsi adalah suatu pecahan, rasio atau persentase
yang menunjukkan suatu bagian populasi atau sampel yang mempunyai sifat
luas. Sebagai contoh adalah suatu survei
tentang tingkat pendidikan konsumen dengan mengambil sampel 70 orang, 30 orang
dinyatakan berpendidikan SMU. Jadi sampel proporsi yang berpendidikan SMU
adalah 30 /70 = 42,86%.
C. Uji
Proporsi Satu Populasi
Uji hipotesis mengenai
proporsi diperlukan dibanyak bidang.
Seorang politikus tentu ingin mengetahui
berapa proporsi pemilih yang akan memilih partainya dalam pemilihan umum mendatang atau semua pabrik sangat berkepentingan mengetahui proporsi barang cacat selama pengiriman.
Pada pembahasan kali ini kita akan
membahas mengenai masalah pengujian hipotesis proporsi. Kita akan menguji hipotesis
Ho bahwa P = Po. Hipotesis alternatifnya dapat berupa alternatif yang bersifat
satu arah dan dua arah : P < Po, P > Po atau P ≠ Po.
Bentuk kurva berdasarkan arah dan
bentuk formasinya pada penggunaan
hipotesis adalah sebagai berikut:
Pengujian
hipotesis mengenai proporsi populasi yang didasarkan atas informasi (data) sampelnya.
a.
Rumus untuk uji proporsi 1 sampel :
Dengan nilai
\[{q_0}{\rm{ }} = {\rm{ }}1 - {p_0}\]
b.
Rumus untuk uji proporsi 2 sampel :
D. Uji
T- Uji Rata-rata Hipotesis Satu Populasi ( Metode Parametrik)
1. Hipotesis
Hipotesis terdiri dari dua bentuk,
yaitu hipotesis untuk uji dua arah dan hipotesis untuk uji satu arah.
a. Hipotesis
untuk uji dua arah adalah
b. Hipotesis
untuk uji satu arah adalah
2. Tingkat
Kepercayaan dan Tingkat Signifikansi
Tingkat kepercayaan yang sering
digunakan dalam pengujian statistik adalah 95 persen atau \[(1 - \alpha ) =
0,95\]
Tingkat kepercayaan bisa dikurangi
sesuai dengan jenis penelitian yang dilakukan, misalnya misalnya 90 persen.
Selain itu bisa juga diperbesar jika menginginkan tingkat ketelitian yang lebih
tinggi, misalnya menjadi 99 persen.
Jika disebutkan bahwa tingkat
kepercayaan yang digunakan adalah 95 persen atau \[(1 - \alpha ) = 0,95\], maka
tingkat signifikansinya adalah 5 persen \[\alpha = 0,05\]
3. Statistik
Uji
Statistik uji yang digunakan dalam
uji rata-rata satu populasi adalah
4. Titik
Kritis
Titik kritis adalah titik yang
digunakan pada pengambilan keputusan yaitu sebagai dasar untuk menolak atau
tidak menolak H0
a. Titik
kritis untuk uji dua arah adalah \[ - {T_{\alpha /2,v}}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}dan\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{T_{\alpha
/2,v}}\]
b. Titik
kritis untuk uji satu arah adalah \[ - {T_{\alpha ,v}}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}untuk\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{H_1}:\mu < {\mu _0}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}dan\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{T_{\alpha ,v}}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}untuk\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{H_1}:\mu > {\mu _0}\]
Perhatikanlah tabel dibawah ini :
5. Keputusan
a. Keputusan
untuk uji dua arah adalah tolak \[{H_0}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}apabila\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}t < - {T_{\alpha /2,v}}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}atau\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}t > {T_{\alpha /2,v}}\]
b. Keputusan
untuk uji dua arah adalah \[\begin{array}{*{20}{l}}{Untuk\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{H_1}:\mu < {\mu _0},\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}tolak{H_0}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}apabila\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}t < - {T_{\alpha ,v}}}\\{Untuk\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{H_1}:\mu > {\mu _0},\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}tolak\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{H_0}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}apabila\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}t > {T_{\alpha ,v}}}\end{array}\]
E. Uji
Z- Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi (Metode Parametrik)
Uji Z rata-rata satu populasi
adalah uji statistik yang digunakan untuk mengetahui apakah suatu populasi
memiliki rata-rata yang sama dengan, lebih kecil atau lebih besar dari suatu
nilai rata-rata tertentu sesuai dengan hipotesis yang telah ditetapkan. Sebelum
melakukan pengujian statistik, terlebih dahulu dilakukan pengambilan sampel
yang nantinya digunakan sebagai bahan untuk melakukan pengujian.
Berikut ini adalah syarat-syarat
yang harus dipenuhi untuk melakukan pengujian.
· Sampel
yang digunakan dalam pengujian adalah sampel acak sederhana.
·
Varian populasi \[{\sigma ^2}\]
· Sampel
berasal dari populasi yang berdistribusi normal atau ukuran (banyaknya) sampel cukup
besar (biasanya ukuran sampel cukup besar yang sering digunakan adalah lebih
dari 30).
1. Statistik
Uji
Statistik uji yang digunakan dalam
uji rata-rata :
dimana z adalah nilai z hitung,
\[{\overline x }\] adalah rata-rata sampel, \[\sigma \] adalah standar devasi populasi dan nn adalah
banyaknya sampel.
2. Titik
Kritis
Titik kritis adalah titik yang
digunakan pada pengambilan keputusan yaitu sebagai dasar untuk menolak atau
tidak menolak H_o.H
a. Titik
kritis uji dua arah adalah \[ - {Z_{\alpha
/2}}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}dan\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{Z_{\alpha
/2}}\]
b. Titik
kritis uji satu arah adalah \[ - {Z_\alpha }\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}untuk\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{H_1}:\mu < {\mu _o}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}dan\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{Z_a}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}untuk\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{H_1}:\mu > {\mu _o}\]
Perhatikanlah tabel berikut ini :
3. Keputusan
a. Keputusan
untuk uji dua arah
\[Tolak\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{H_o}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}apabila\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}z < - {Z_{\alpha /2}}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}atau\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}z > {Z_{\alpha /2}}\]
b. Keputusan
untuk uji satu arah
\[\begin{array}{*{20}{l}}{Untuk\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{H_1}:\mu < {\mu _o},\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}tolak\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{H_o}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}jika\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}z < - {Z_\alpha }}\\{Untuk\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{H_1}:\mu > {\mu _o},\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}tolak\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{H_o}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}apabila\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}z > {Z_\alpha }}\end{array}\]
F.
Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi
(Non-Parametrik)
1.
Pendahuluan
Pengujian ini sering digunakan pada dua populasi yang saling dependen atau dapat digunakan untuk pengujian rata-rata 1 populasi jika data tidak
berdistribusi normal. Pengujian dapat menggunakan data dengan skala ordinal. Penghitungannya mendasarkan pada selisih nilai tanda
dari pasangan data yang ada.
2.
Langkah-langkah Pengujiannya
a.
Buat hipotesisnya yakni sebagai berikut
:
b.
Hitung selisih data observasi dengan
nilai rata-ratanya
c. Buat nilai absolut dari langkah kedua
kemudian buat urutan ranknya.Aturan dalam mengurutkan sbb :
1)
Urutkan dari nilai yang terkecil hingga
terbesar
2)
Jika ada data yang sama, maka urutannya
merupakan rerata keduanya
3)
Bila terdapat nilai 0, maka data
dihapus.
4)
Jumlahkan urutan nilai positif maupun
negatif
5)
Jika menggunakan urutan positif (W+)
maka formula yang digunakan sbb :
·
Rerata W+ :
·
Standar deviasi W+ :
d.
Karena pengujian mengikuti distribusi Z,
maka :
e.
Sehinggakita bisa dapatkan nilai
p-hitungnya.
f.
Pengujian, jika p-hitung < α maka
tolak Ho, terima Ha.
Begitu
juga sebaliknya. Atau jika nilai hitung > nilai tabel maka tolak Ho terima
Ha, sebaliknya.
Q.
Kesimpulan Prosedur Pengujian Hipotesis
1.
Tentukan taraf nyata (Significant Level)
Taraf
nyata (a) adalah besarnya toleransi dalam menerima kesalahan hasil hipotesis
terhadap nilai parameter populasinya.
Taraf nyata dalam bentuk % umumnya sebesar 1%, 5% dan 10% ditulis a0,01;
a0,05 ; a0,1. Besarnya kesalahan disebut sbg daerah kritis pengujian (critical
region of a test) atau daerah penolakan (region of rejection)
2.
Tentukan Kriteria Pengujian
3.
Menentukan Nilai Uji Statistik
G.
Pengujian Hipotesis untuk Satu Varians
Populasi
Pengujian
hipotesis mengenai variansi populasi atau simpangan baku berarti kita ingin
menguji hipotesis mengenai keseragaman suatu populasi ataupun barang
membandingkan keseragaman suatu populasi dengan populasi lainya. Statistik yang
cocok sebagai dasar keputusan adalah statistic chi square (χ2) dan statistic F.
·
Dua Arah
·
Satu Arah
·
Satu Arah
1.
Chi-Square Test Statistic
2.
Examples of Sampling Distribution
Distribusi
chi-square tergantung dari derajat bebasnya: d.f. = n – 1
3.
Nilai Kritis
Nilai
kritis \[{x^2}\] dapat dilihat dari tabel chi-square
4.
Lower Tail or Two Tailed Chi-square Tests
a.
Lower Tail Test
b.
Two Tail Test
Contoh Soal :
1. Divisi Perencanaan dan Pengendalian
Produksi atau PPC di perusahaan produksi mesin bubut bernama PT. Maju Jaya
melakukan sebuah tindakan peramalan produksi bahwa dalam satu bulan mereka
berharap dapat menghasilkan 150 unit mesin bubut. Namun, setelah melakukan
sebuah evaluasi produksi perusahaan, ternyata hasil yang didapat setelah 30
hari pengamatan, rata-rata mesin bubut yang dihasilkan adalah sebesar 120 unit
dengan standar deviasi 40. Akankah dengan kondisi tersebut, ramalan divisi PPC
adalah benar sehingga perusahaan dapat memenuhi target awal dapat memproduksi
mesin bubut sebanyak 150 unit? Gunakan taraf nyata 5% untuk mengujinya!
2.
Perusahaan manufaktur pesawat terbang PT
Zelstar Aviation Manufacturer, mengeluarkan laporan bahwa rata-rata produksinya
meningkat 30% dibandingkan tahun sebelumnya. Setelah menerima laporan tersebut,
pemerintah Indonesia mengadakan sebuah pengujian apakah pernyataan dari PT
Zelstar Aviation tersebut benar adanya. Kemudian sebagai alat penguji, diambil
sampel penelitian sebanyak 60. Dan diperoleh rata-rata produksinya ternyata 25%
dengan standar deviasi 10%. Hitunglah apakah pernyataan dari peningkatan
produksi dari PT Zelstar Aviation tersebut benar adanya apabila menggunakan
taraf nyata sebesar 5%?
3. Seorang pengajar mengatakan bahwa beliau
telah menemukan model pembelajaran baru untuk meningkatkan prestasi belajar
bahasa inggris dengan rerata 8. Seorang peneliti ingin mengetahui apakah klaim
pengajar tersebut benar. Untuk itu, peneliti mengambil sampel berukuran 50 dan
setelah diuji, ternyata diperoleh rerata prestasi belajar bahasa inggris siswa
7,8 dengan deviasi baku 0,5. Bagaimana kesimpulan uji tersebut, jika diambil
α=1%?
4. Sebuah meriam harus memiliki ketepatan
menembak dengan variasi yang minimum. Spesifikasi dari pabrik senjata
menyebutkan bahwa standar deviasi dari ketepatan menembak meriam jenis tersebut
maksimum adalah 4 meter. Untuk menguji
hal tersebut, diambil sampel sebanyak 16 meriam dan diperoleh hasil \[{s^2}\] = 24 meter. Ujilah standar deviasi dari spesifikasi
tersebut! Gunakan \[\alpha \] = 0.05
5. Pabrik busi menyatakan bahwa, businya
mampu bekerja selama 8000 jam dengan σ = 60 jam, untuk mengujinya diambil 50
motor yang menggunakan busi tersebut. Di dapat rata-rata pemakaian busi 7985
jam. Coba periksa apakah pernyataan pabrik itu benar ?
Jawaban :
1. Langkah-Langkah
nya sebagai berikut
a. Langkah
1: Merumuskan Hipotesis
H0 = μ ≥ 150
H1 = μ < 150
b. Langkah
2 : Menentukan Taraf Nyata
α = 5% = 0.05
Probabilitas = 0.5 – 0.05 = 0.45
Z = ± 1.64
c. Langkah
3 : Menentukan Uji Statistik
d. Langkah
4 : Menentukan Daerah Keputusan
e. Langkah
5: Mengambil keputusan
Kesimpulannya adalah menerima H0 ,
artinya divisi PPC PT Maju Jaya berhasil meramalkan target produksi perusahaan
sehingga target produksi itu sendiri dapat terpenuhi dan menguntungkan
perusaaan.
2. Langkah-Langkahnya
sebagai berikut :
a. Langkah
1 : Merumuskan Hipotesis
H0 : μ = 30%
H1 : μ ± 30%
b. Langkah
2 : Menentukan Taraf Nyata
Taraf nyata = 5%
Probabilitas = 100% – 5% = 95%
Titik kritis Zα/2 = (1/2) –
(0.05/2) = 0.5 – 0.025 = 0.475
Z = ± 1.96
c. Langkah
3: Menentukan Uji Statistik
d. Langkah
4 : Menentukan Daerah Keputusan
e. Langkah
5 : Mengambil Keputusan
Nilai uji Z (-3.873) ternyata
berada pada daerah yang menolak H0 tetapi menerima H1, oleh sebab itu, dapat disimpulkan
bahwa uji hipotesis diatas adalah menerima H1 dan menolak H0 sehingga
pernyataan bahwa rata-rata produksi PT Zelstar Aviation yang mengalami
peningkatan sebear 30% tidak memiliki bukti yang kuat dan patut dipertanyakan
dan diselidiki kebenarannya.
3. Klaim
pengajar dikatakan tidak benar jika dalam uji yang dilakukan oleh peneliti
tersebut diperoleh rerata yang tidak sama dengan 8. Dalam hal ini, karena n
besar, maka deviasi baku sampel dapat diasumsikan mewakili deviasi baku
populasi, dan oleh karena itu digunakan uji Z.
a. H0
: =8 (klaim pengajar benar)
H1 : 8 (klaim pengajar tidak benar)
b. α=1%
3
c. statistik
uji yang digunakan:
f. Keputusan
uji: H0 ditolak
g. Kesimpulan: Klaim pengajar tidak benar. Terlihat
bahawa rerata prestasi belajar bahasa inggris siswa kurang dari Pada contoh
soal di atas, digunakan uji Z karena variansi sampel dapat diasumsikanmewakili
(sama dengan) variansi populasi. Jika asumsi ini tidak dianggap tidak benar,
maka harus digunakan uji t
4.
Maka hal yang perlu diperhatikan
a.
Hipotesis
b.
Nilai
kritis dari tabel chi-square
\[{x^2}\alpha \]
= 24.9958 (\[\alpha \]) = 0.05 dan
d.f. = 16 – 1 = 15
c.
Statistik Uji
5.
HA : µ ≠
8000 jam
σ = 60 jam
x
=7.985 jam
n
= 50
Nilai z :
z = = -1,768
Interpolasi pada
tabel:
Z1 = -1,76 ½ α1 = 0,5 - 0,4608 = 0,0392
Z2 = -1,77 α2 = 0,5 – 0,4616 = 0,0384
p-v = α1 – (α1 –
α2)
= 0,0392 – 0,0008 ( )
= 0,0392 – 0,0008 ( )
p-v = ½ α ; maka
α = 2.p-v = 0,0764
Karena pengujian
dua pihak menghasilkan p-v = 0,0764 > 0,05, maka jika H0 ditolak, padahal H0
benar, akan berhadapan dengan resiko, dengan peluang 0,0764. Resiko ini terlalu
besar, dengan demikian H0 diterima pada taraf signifikansi α = 0,0764 atau
7,64%.
Komentar
Posting Komentar