Panduan Pengujian Hipotesis Dua Rata-Rata Beserta
Contohnya
Uji hipotesis dua rata-rata digunakan
untuk mengetahui ada atau tidak adanya perbedaan (kesamaan) antara dua buah
data. Salah satu teknik analisis statistik untuk menguji hipotesis dua
rata-rata ini ialah uji t (t test) karena rumus yang digunakan disebut rumus t.
Rumus t sendiri banyak ragamnya dan pemakaiannya disesuaikan dengan karakteristik
kedua data yang akan dibedakan. Ada beberapa persyaratan yang harus dipenuhi
sebelum uji t dilakukan. Persyaratannya adalah:
1. Data
masing-masing berdistribusi normal
2. Data
dipilih secara acak
3. Data
masing-masing homogen
Hipotesis Statistik adalah pernyataan
statistik tentang populasi yang diteliti. Jika menguji hipotesis penelitian
dengan perhitungan statistik, maka rumusan hipotesis tersebut perlu diubah
kedalam rumusan hipotesis statistik.
1. Untuk
\[{H_0}:{\mu _1} = {\mu _2}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}dan\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{H_1}:{\mu
_1} > {\mu _2}\]
2. Untuk
\[{H_0}:{\mu _1} = {\mu
_2}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}dan\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{H_1}:{\mu
_1} < {\mu _2}\]
3. Untuk
\[{H_0}:{\mu _1} = {\mu
_2}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}dan\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{H_1}:{\mu
_1} \ne {\mu _2}\]
Kalau
dalam rumusan hipotesis penelitian hanya dituliskan salah satu saja yaitu
hipotesis alternatif (Ha) atau hipotesis nol (Ho). Sedangkan dalam hipotesis
statistik keduanya dipasangkan sehingga dapat diambil keputusan dengan tegas
yaitu menerima Ho berarti menolak Ha
begitu juga sebaliknya apabila Ho berarti menerima Ha. Hipotesis satistika
dirumuskan untuk menjelaskan gambaran dan parameter apa dari populasi.
A. Jenis-Jenis
Pengujian Hipotesis
Jenis hipotesis yang sering muncul dalam uji kesamaan
dua rata rata adalah :
1. Hipotesis
Direksional
Hipotesis Direksional adalah rumusan hipotesis yang
arahnya sudah jelas atau disebut juga hipotesis langsung. Sedangkan pengujian
hipotesis direksional terdiri dati dua yaitu uji pihak kiri dan uji pihak
kanan.
2. Hipotesis Non Direksional
Hipotesis non direksional (hipotesis tidak langsung)
adalah hipotesis yang tidak menunjukan arah tertentu. Jika rumusan Ha berbunyi
kalimat: tidak sama dengan (≠), maka sebaiknya Ho berbunyi kalimat: sama
dengan(=). Pengujian ini menggunakan uji dua pihak (two tailed test).
Menguji Kesamaan Dua Rata-rata
A. UJI
SATU PIHAK
Sebagaimana
dalam uji dua pihak, untuk uji satu pihak pun dimisalkan bahwa kedua populasi
berdistribusi normal dengan rata-rata \[{\mu _1}\] dan \[{\mu _2}\] dan simpangan baku \[{\sigma
_1}\] dan \[{\sigma _2}\] . Karena umummnya \[{\sigma _1}\] dan \[{\sigma _2}\]
tidak diketahui, maka di sini akan
ditinjau hal-hal tersebut untuk keadaan \[{\sigma _1} = {\sigma
_2}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}atau\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{\sigma
_1} \ne {\sigma _2}\]
1. Uji
pihak kanan
Yang
diuji adalah
Dalam
hal \({\sigma _1} = {\sigma _2}\) , maka statistik yang digunakan ialah
statistik t seperti dalam Rumus yang telah di bahas pada blog sebelumnya
mengenai uji hipotesis dengan s2 seperti
dalam rumus tersebut
Kriteria
pengujian yang berlaku ialah : terima H0
jika \[t{\rm{ }} < {\rm{ }}{t_{1{\rm{ }}--}}_a\] dan tolak H0 jika t
mempunyai harga-harga lain. Derajat kebebasan untuk daftar distribusi t ialah
(n1 + n2 – 2) dengan peluang \[(1{\rm{ }} -
a)\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}Jika\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{\sigma
_{\bf{1}}} \ne {\sigma _{\bf{2}}}\] , maka statistik yang digunakan adalah
statistik t.
Dalam
hal ini, kriteria pengujian adalah: tolak hipotesis H0 jika
dan
terima H0 jika terjadi sebaliknya, dengan
:
Peluang
untuk penggunaan daftar distribusi t ialah \[(1{\rm{ }}--a)\] sedangkan dk-nya
masing-masing \[({n_1} - 1)\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\left( {{n_2} -
1} \right)\]
2. Uji
pihak kiri
Perumusan hipotesis H0 dan hipotesis
tandingan H1 untuk uji pihak kiri adalah:
Langkah-langkah
yang ditempuh dalam hal ini sejalan dengan yang dilakukan untuk uji pihak
kanan. Jika \[{\sigma _1} = {\sigma _2}\] , kedua-duanya nilainya tak
diketahui, maka digunakan statistik t dalam rumus yang telah di bahas
sebelumnya.
Kriteria
pengujian adalah : tolak \[{H_0}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}t \le - {t_{1 - - }}_a,dimana{\rm{ }}{t_{1 - }}_a\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}didapat\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}dari\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}daftar\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}distribusi\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}t\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}dengan{\rm{ }}dk = \left( {{n_1} + {n_2} - 2} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}dan\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}peluang{\rm{ }}(1 - a)\]. Untuk harga-harga
t lainnya, H0 diterima. Jika \[{\sigma _1} \ne {\sigma _2}\] , maka yang
digunakan adalah statistik t’ dalam rumus sebelumnya tolak H0 untuk
dimana
w1, w2, t1 dan t2 semuanya seperti telah diuraikan.
Jika
t’ lebih besar dari harga tersebut, maka H0 diterima.Untuk observasi
berpasangan, hipotesis H0 dan tandingan yang diuji adalah
Statistik
yang digunakan ialah statistik t
Dan
tolak \[H0jika{\rm{ }}t \le - {t_{\left( {1 - \alpha } \right)\left( {n - 1} \right)}}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}dan\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}terima\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}H0jika\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}t = - {t_{(1 - a)}}(n - 1)\] untuk coontooh pada
bagian ini cara penyelesaiannya sejalan dengan untuk uji pihak kanan. Bedanya
hanya terletak pada letak daerah kritisnya saja.
Keterangan
Rumus :
Kriteria
pengujian Menurut teori distribusi sampling (tidak dibahas dalam buku ini) maka
statistik t di atas berdistribusi Student dengan \[dk{\rm{ }} = {\rm{ }}\left(
{{n_1}{\rm{ }} + {\rm{ }}{n_2}{\rm{ }}--{\rm{ }}2} \right)\] .
\[\begin{array}{l} - {t_{\left( {1 - \frac{1}{2}\alpha } \right)}} < {t_{\left( {1 - \frac{1}{2}\alpha } \right)}},\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\dim ana\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{t_{\left( {1 - \frac{1}{2}\alpha } \right)}}\\didapat{\rm{ }}dari{\rm{ }}daftar{\rm{ }}distribusi{\rm{ }}dengan\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\\dk = \left( {{n_1} + {n_2} - 2} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}dan\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}peluang\begin{array}{*{20}{c}}{{{\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}}_{\left( {1 - \frac{1}{2}\alpha } \right)}}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}untuk}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}h\arg a\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}t\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}lainnya\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{H_0}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}ditolak\end{array}\]
\[\begin{array}{l} - {t_{\left( {1 - \frac{1}{2}\alpha } \right)}} < {t_{\left( {1 - \frac{1}{2}\alpha } \right)}},\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\dim ana\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{t_{\left( {1 - \frac{1}{2}\alpha } \right)}}\\didapat{\rm{ }}dari{\rm{ }}daftar{\rm{ }}distribusi{\rm{ }}dengan\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\\dk = \left( {{n_1} + {n_2} - 2} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}dan\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}peluang\begin{array}{*{20}{c}}{{{\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}}_{\left( {1 - \frac{1}{2}\alpha } \right)}}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}untuk}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}h\arg a\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}t\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}lainnya\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{H_0}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}ditolak\end{array}\]
Kriteria
pengujian adalah terima hipotesis H0 jika
dengan
:
t
didapat dari daftar distribusi Student dengan peluang \[\beta \] dan dk = m.
untuk harga-harga t lainnya H0 ditolak.
B. MENGUJI
KESAMAAN DUA RATA-RATA (Dua Sampel) : UJI DUA PIHAK
Banyak penelitian yang memerlukan
perbandingan antara dua keadaan atau tepatnya dua populasi. Misalnya
membandingkan dua cara mengajar, dua cara produksi, daya sembuh dua macam obat
dan lain sebagainya.
Misalkan kita mempunyai dua populasi
normal masing-masing dengan rata-rata \[{\mu
_1}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}dan\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{\mu
_2}\] sedangkan simpangan bakunya \[{\sigma
_1}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}dan\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{\sigma
_2}\] . Secara independen dari populasi kesatu diambil sebuah sampel acak
berukuran \[{n_1}\] sedangkan dari populasi kedua sebuah sampel acak berukuran \[{n_2}\]
. Dari kedua sampel ini berturut-turut didapa \[\overline {{x_1}}
,{s_1}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}dan\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\overline
{{x_2}} ,{s_2}\] . Akan diuji tentang rata-rata \[{\mu
_1}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}dan\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{\mu
_2}\] . Pasangan hipotesis nol dan tandingannya yang akan diuji adalah :
Untuk
ini kita bedakan hal-hal berikut :
\[1.\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{\sigma
_1} = {\sigma _2} = \sigma
\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}dan\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\sigma
,\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}diketahui\]
Statistik
yang digunakan jika H0 benar, adalah:
\[ -
{Z_{\frac{1}{2}\left( {1 - \alpha } \right)}} < Z < {Z_{\frac{1}{2}\left(
{1 - \alpha } \right)}}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\dim
ana\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{Z_{\frac{1}{2}\left( {1 - \alpha }
\right)}}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}didapat{\rm{ }}dari{\rm{ }}daftar{\rm{
}}normal{\rm{ }}baku{\rm{ }}dengan{\rm{
}}peluang\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}\left(
{1 - \alpha } \right)}\end{array}\]
2.
\[{\sigma _1} = {\sigma _2} = \sigma
\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}dan\] tidak diketahui
Jika H benar dan \[{\sigma _1} = {\sigma _2} = \sigma \] dimana \[\sigma \] tidak
diketahui harganya. Maka rumus statistik yang digunakan adalah:
Dengan
Menurut teori distribusi sampling, maka statistik t di atas
berdistribusi student dengan \[dl = \left( {{n_1} + {n_1} - 2} \right)\].Kriteria pengujian adalah : terima 
jika
\[ - {t_{\left( {1 - \frac{1}{2}\alpha } \right)}} < {t_{\left( {1 - \frac{1}{2}\alpha } \right)}}\] , dimana \[{t_{\left( {1 - \frac{1}{2}\alpha } \right)}}\] didapat dari daftar distribusi
dengan \[dl = \left( {{n_1} + {n_1} - 2} \right)\] dan peluang \[\left( {1 - \frac{1}{2}\alpha } \right)\]. Untuk harga t lainnya H0 ditolak.
jika
\[ - {t_{\left( {1 - \frac{1}{2}\alpha } \right)}} < {t_{\left( {1 - \frac{1}{2}\alpha } \right)}}\] , dimana \[{t_{\left( {1 - \frac{1}{2}\alpha } \right)}}\] didapat dari daftar distribusi
dengan \[dl = \left( {{n_1} + {n_1} - 2} \right)\] dan peluang \[\left( {1 - \frac{1}{2}\alpha } \right)\]. Untuk harga t lainnya H0 ditolak.3. \[{\sigma _1} \ne {\sigma _2} = \sigma \] dan kedua-duanya tidak diketahui
Jika
kedua simpangan baku tidak sama tetapi kedua populasi berdistribusi normal,
hingga sekarang belum ada statistik yang tetap yang dapat digunakan. Pendekatan
yang cukup memuaskan adalah dengan menggunakan statistika 
sehingga rumus yang digunakan adalah sebagai berikut:
Kriteria pengujian adalah : terima hipotesis jika
sehingga rumus yang digunakan adalah sebagai berikut:Kriteria pengujian adalah : terima hipotesis jika
Dengan :
4.
bservasi berpasangan
Untuk observasi
lapangan, kita ambil hipotesis dan hipotesis alternatifnya adalah :
menghasilkan rata-rata \[\left( {\overline B } \right)\] dan simpangan baku Sb Untuk pengujian hipotesis, gunakan rumus statistik:
dan terima H jika \[ - {t_{\left( {1 - \frac{1}{2}\alpha } \right)}} < t < {t_{\left( {1 - \frac{1}{2}\alpha } \right)}}\] dimana \[{t_{\left( {1 - \frac{1}{2}\alpha } \right)}}\] didapat dari daftar distribusi
t dengan peluang \[\left( {1 - \frac{1}{2}\alpha } \right)\] dan dk = (n - 1). Dalam hal
lainnya H di tolak.
Contoh 1:
Seorang peneliti mewawancarai 50 kepala keluarga di kota X dan
mendapatkan informasi bahwa rata-rata
penghasilan mereka adalah 5.000.000 rupiah/bulan dengan simpangan baku
2.250.000. Dengan taraf nyata 5%, ujilah apakah rata-rata penghasilan populasi
adalah kurang dari 6.000.000/bulan!
Penyelesaian:
Contoh Soal 2 :
Seorang pemilik toko yang menjual 2 macam bola
lampu merek A dan B, berpendapat bahwa tak ada perbedaan rata-rata lamanya
menyala bola lampu kedua merek tersebut.
Dengan pendapat alternatif adanya perbedaan ≠ guna menguji pendapat itu
dilakukan percobaan atau eksperimen dengan menyalakan 100 buah lampu merek A
dan 50 buah bola lampu merek B, sebagai sampel acak. Ternyata bola lampu merek
A dapat menyala rata-rata selama 952 jam, sedangkan merek B selama 987 jam,
masing-masing dengan simpangan baku sebesar A adalah 85 jam dan B adalah 92
jam. Dengan menggunakan α = 5%, ujilah pendapat tersebut !
Jawaban Soal :
Langkah Pertama : Merumuskan Hipotesis
H0 : µ1 – µ2 = 0
H1 : µ1 – µ2 ≠ 0
Ø n1 = 100, 1 = 952, 1 = 85
Ø n2 = 50, 2 = 987, 2 = 92
Langkah Kedua : Menentukan Taraf Nyata
Karena α = 5%. Zα/2 = 1.96 atau -Zα/2 = -1.96
Langkah Ketiga : Menentukan Kriteria Pengujian
Langkah Keempat : Menentukan Daerah Keputusan
Langkah Kelima : Pengambilan Keputusan
Dapat diambil kesimpulan bahwa hipotesis
menolak H0 dan menerima H1 sebagai Hipotesis Alternatif. Sehingga nyala lampu A
tidak sama dengan nyala lampu B karena Z0 sebesar -2.25 dan berada di luar
daerah menerima H0 sebab lebih kecil dari batas akhir yaitu -1.96
Contoh Soal 3 :
Judul :
Pengaruh Model Pembelajaran Kolaboratif Terhadap Hasil Belajar Matematika Siswa
Kelas VIII Semester Ganjil SMP Negeri 1 Kelumbayan Barat Tanggamus Tahun
Pelajaran 2012/2013.
Jawaban :
Pengujian Hipotesis
Uji Kesamaan Dua Rata-Rata: Uji dua pihak
Rumusan hipotesis:
Tidak ada perbedaan antara rata-rata hasil
belajar matematika siswa yang menggunakan model pembelajaran kolaboratif dengan
siswa yang menggunakan metode konvensional.
Ada perbedaan antara rata-rata hasil belajar
matematika siswa yang menggunakan model pembelajaran kolaboratif dengan siswa
yang menggunakan metode konvensional.
“Berarti ada perbedaan antara rata-rata hasil
belajar matematika siswa yang menggunakan model pembelajaran kolaboratif dengan
siswa yang menggunakan metode konvensional”
Contoh Soal 4 :
Judul : Pengaruh Model Pembelajaran Kolaboratif Terhadap Hasil Belajar Matematika Siswa Kelas VIII Semester Ganjil SMP Negeri 1 Kelumbayan Barat Tanggamus Tahun Pelajaran 2012/2013.
Jawaban :
Pengujian Hipotesis
Uji Kesamaan Dua Rata-Rata: Uji dua pihak
Rumusan hipotesis:
Tidak ada perbedaan antara rata-rata hasil belajar matematika siswa yang menggunakan model pembelajaran kolaboratif dengan siswa yang menggunakan metode konvensional.
Ada perbedaan antara rata-rata hasil belajar matematika siswa yang menggunakan model pembelajaran kolaboratif dengan siswa yang menggunakan metode konvensional.
“Berarti rata-rata hasil belajar matematika
siswa yang menggunakan model pembelajaran kolaboratif lebih tinggi dari
rata-rata hasil belajar matematika siswa yang menggunakan metode pembelajaran
konvensional”
Komentar
Posting Komentar