PEUBAH ACAK DAN SEBARAN PELUANG

Konsep Variabel Acak

Variabel acak adalah keluaran dari suatu percobaan yang dinyatakan secara numerik, untuk menggambarkan hasil-hasil percobaan sebagai nilai-nilai numerik secara sederhana, kita menggunakan apa yang disebut sebagai variabel acak. Jadi variabel acak dapat didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari hasil percobaan. Variabel acak biasanya menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil percobaan. Karena nilai-nilai numerik tersebut dapat bersifat diskrit(hasil perhitungan) dan bersifat kontinu(hasil pengukuran) maka variabel acak dapat dikelompokkan menjadi variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu. Variabel random (acak) adalah suatu fungsi bernilai numerik yang didefinisikan untuk seluruh ruang sampel.

Contoh:

 ruang sampel untuk kemungkinan hasil jika 3 spesimen diuji S = {BBB, BBC, BCB, CBB, BCC, CBC, CCB, CCC}, B baik & C cacat. Umumnya minat pada banyaknya cacat yang terjadi yang dapat bernilai 0, 1, 2, atau 3. Nilai ini kuantitas random yang ditentukan oleh hasil eksperimen. Nilai-nilai ini diasumsikan sebagai variabel random, X, yaitu banyaknya item spesimen yang cacat dalam pengujian.

Penggunaan huruf besar, misal X, untuk menyatakan suatu variabel random dan huruf kecil x untuk nilainilainya. Dalam ilustrasi diatas, variabel random X mengasumsikan nilai 2 untuk semua elemen dalam subset E = {CCB, CBC, BCC} dari ruang sampel S (mengandung Cacat sebanyak dua buah). Setiap kemungkinan nilai X merepresentasikan suatu kejadian yang merupakan suatu subset dari ruang sampel untuk suatu eksperimen yang diberikan.

Notasi variabel acak dinyatakan dalam huruf besar (misal X, Y, W) dan suatu nilai dari variabel acak tersebut ditulis dengan huruf kecil (misal x, y, w). Var.acak dinyatakan dengan fungsi X = X (s) = s² ; s adalah bilangan real, elemen- elemen pada sample-space S, yaitu himpunan {0 < s < 12}; maka titik-titik pada S akan dipetakan pada himpunan real {0 < x < 144}

Syarat suatu fungsi X sebagai variable acak ialah:

1.    Himpunan {X < x} merupakan suatu event untuk semua nilai real x € - ∞< x < ∞

2.    P{X = - ∞} = 0 dan P{X = ∞}= 0

Variabel random dapat dibedakan menjadi dua

Variabel acak diskrit hanya memiliki nilai-nilai diskrit (countable), sedangkan variabel acak kontinyu mempunyai nilai-nilai (manapun) pada suatu range yang kontinyu.

Variabel Random Diskrit

Variabel random yang hanya mempunyai nilai pada titik

tertentu atau nilai yang dapat dibilang baik terbatas

(finite) maupun tidak terbatas (infinite)

Variabel Random Kontinu

Variabel random yang dapat mempunyai nilai-nilai yang

berhubungan dengan setiap titik dalam satu atau lebih

interval (range) dimana nilai-nilai tersebut tidak terbatas

(infinite) dan tidak dapat dibilang (uncountable)

Distribusi Probabilitas Diskrit

Distribusi probabilitas suatu variabel random diskrit

adalah suatu tabel, grafik, atau formula yang

menyatakan probabilitas yang dihubungkan dengan

setiap kemungkinan nilai x.

Syarat-Syarat untuk Suatu Distribusi

Probabilitas Diskrit x

1.    p(x) ≥ 0 untuk semua nilai x

2.   \(\sum {} \)  p(x) = 1 untuk semua nilai x

Distribusi probabilitas diskrit dalam literatur asing sering disebut dengan pmf

(probability mass function) atau fungsi massa peluang

Contoh Distribusi Probabilitas Diskrit

Percobaan: Melempar dua koin. Menghitung banyaknya kemunculan ekor (tail).

Visualisasi Distribusi

Probabilitas Diskrit

Ringkasan Ukuran pada

Distribusi Probabilitas Diskrit

1.    Nilai Harapan (Rataan/Mean Distribusi Probabilitas)

·      Rata-rata tertimbang untuk semua nilai yang Mungkin

·      \(\mu  = E\left( x \right) = \sum {xp\left( x \right)} \)

2.    Variansi

·      Rata-rata tertimbang dari deviasi kuadrat di sekitar rataan

·       \({\sigma ^2} = E\left[ {{{\left( {x - \mu } \right)}^2}} \right] = \sum {{{\left( {x - \mu } \right)}^2}p\left( x \right)} \)

3.    Standard Deviation

·      \(\sigma  = \sqrt {{\sigma ^2}} \)

Nilai Harapan & Variansi

Contoh
Pengiriman 20 tipe laptop yang sama ke satu toko ritel

tertentu berisikan 3 buah produk cacat. Jika suatu

sekolah membeli 2 laptop dari toko ini, carikah

distribusi probabilitas untuk banyaknya laptop yang

cacat.

Jawaban :

X adalah variabel random yang nilai-nilai xnya

merupakan kemungkinan banyaknya laptop cacat

yang dibeli sekolah tersebut. Nilai x yang mungkin

adalah 0, 1, dan 2.

Distribusi Probabilitas X diberikan sebagai berikut:

Distribusi Kumulatif Diskrit

·   Berapa probabilitas nilai pengamatan suatu variabel random X kurang dari atau sama dengan beberapa bilangan riil untuk setiap bilangan x,\( \to F\left( x \right) = P\left( {X \le x} \right)\) F(x) dapat didefinisikan sebagai fungsi.

Distribusi kumulatif variabel random X.

·  Distribusi kumulatif F(x) dari variable random diskrit X dengan distribusi peluang f(x)

 adalah: untuk  x \(F\left( x \right) = P\left( {X \le x} \right) = \sum\limits_{t \le x} {f\left( t \right)} \) untuk - ∞ < x < ∞

Contoh

    Seorang penjaga penyimpanan barang mengembalikan tiga helm yang telah diberi nama pemilik pada tiga karyawan secara acak. Jika Smith (S), Jones(J), dan Brown(B), menerima satu dari tiga topi, daftarlah ruang sampel untuk berbagai kemungkinan urutan helm yang dikembalikan.

Jawaban :

1.  Carilah ruang sampel dan nilai m untuk variabel random M yang menyatakan kesesuaian dengan pemiliknya.

2.    Buatlah tabel distribusi peluangnya.

3.    Carilah distribusi probabilitas kumulatifnya

a.  Ruang sampel untuk semua pengaturan yang mungkin dan banyaknya kesesuaian helm dengan pemiliknya adalah sebagai berikut :

b.    Tabel Distribusi peluangnya adalah sebagai berikut :

c.    Untuk mencari distribusi probabilitas kumulatifnya, terlebih dahulu hitung :

   Selanjutnya :

Maka Gambarnya : 

Distribusi Probabilitas Kontinu

·      Suatu variabel random kontinu X memiliki tiga sifat berikut

1.    X merupakan bilangan yang bernilai tidak terhingga tidak terhitung (uncountably infinite number of values) dalam interval  \(\left( { - \infty ,\infty } \right)\) 

2.    Fungsi distribusi kumulatif, F(x), kontinu.

3.    Probabilitas X sama dengan sembarang nilai yang khusus adalah 0

·      Karena probabilitas variabel random kontinu sama dengan suatu sembarang nilai sama dengan nol. Jika X adalah variabel random kontinu, maka  \(P\left( {a < X \le b} \right) = P\left( {a < X < b} \right) + P\left( {X = b} \right) = P\left( {a < X < b} \right)\) 

·       Dan dapat dihitung sebagai berikut :

·   Tidak masalah apakah titik akhir suatu selang diikutkan atau tidak. Hal ini berbeda dengan variabel random diskrit. Distribusi variabel random kontinu dapat dinyatakan dalam bentuk formula

Contoh

    Kesalahan pengukuran temperatur dinyatakan dengan variabel random X dengan fungsi densitas yang didefinisikan sebagai berikut :

1.    Periksa syarat 2 dari definisi 4.3. diatas

2.    Hitunglah

Jawaban :

Distribusi Kumulatif Kontinu

Distribusi kumulatif F(x) dari variabel random kontinu X dengan fungsi densitas peluang f(x) adalah

Sebagai akibat dari definisi diatas dapat dituliskan

Dan jika turunannya ada maka :

Contoh

Dari contoh sebelumnya tentukan F(x) kemudian gunakan

untuk menghitung

Jawaban :

    

Distribusi  Gabungan Variabel Random  Diskrit

    Jika X dan Y dua variabel random diskrit, maka distribusi peluang untuk kejadian simultan dapat direpresentasikan dengan fungs

   f (x,y) untuk setiap pasangan (x,y). Fungsi ini disebut dengan distribusi peluang gabungan dari variabel random X dan Y. Untuk kasus diskrit dituliskan:

    F(x,y) = P( X = x, Y = y )

   Definisi 

  Fungsi f (x, y) adalah distribusi peluang gabungan atau fungsi massa peluang dari dua variabel random diskrit X dan Y jika

Contoh Soal 

   Dua isi ulang bolpoin diambil dari kotak yang berisi 3 warna biru, 2 warna merah, dan 3 warna hijau. Jika X menyatakan banyaknya warna biru yang terpilih dan Y banyaknya warna merah terpilih, tentukan

1.    Fungsi peluang gabungan f(x, y)

2.    \(P\left[ {\left( {X,Y} \right) \in A} \right]\)  dimana A adalah daerah  \(\left\{ {\left( {x,y} \right)|x + y \le 1} \right\}\)

Jawab

    Nilai pasangan yang mungkin dari (x, y) adalah (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), dan (0, 2).

1.  Misalkan f (0,1) menggambarkan probabilitas sebuah bolpoin hijau, dan merah yang terpilih. Banyaknya semua kemungkinan memilih 2 dari total 8 Poin adalah : \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}8\\3\end{array}} \right) = 28\)

     Banyaknya cara memilih 1 merah dari 2 bolpoin merah dan 1 hijau dari 3 bolpoin hijau \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3\\1\end{array}} \right) = 6\) 

Oleh karena itu  \(f(0,1) = \frac{6}{{28}} = \frac{3}{{14}}\)    

  Perhitunungan yang sama untuk pasangan hasil lain yang mungkin dapat dilihat dalam tabel  berikut :

Distribusi Binomial

Banyaknya ‘sukses’ dalam suatu sampel dari pengamatan (trial) sebanyak n

·      Banyaknya item yang cacat dalam suatu batch berisikan 5 item

·      Banyaknya jawaban yang benar dari 30 pertanyaan saat ujia

  Banyaknya pelanggan yang berbelanja dari 100 pelanggan yang masuk toko (tiap pelanggan memiliki kesempatan sama untuk membeli)

Karakteristik Variabel Random Binomial

1. Eksperimen terdiri dari percobaan Bernoulli sebanyak n yang identik Hanya ada dua kemungkinan hasil pada setiap percobaan, yaitu S (untuk sukses) dan F (untuk gagal)

2.    P(S) = p and P(F) = q tetap sama dari satu percobaan ke percobaan lain (Perhatikan bahwa p + q =1)

3. Percobaan-percobaan tersebut adalah independen Variabel random binomial x adalah banyaknya S dalam n kali percobaan

Contoh Distribusi Probabilitas Binomial

  Percobaan: Melemparkan 1 koin sebanyak 5 kali. Catat banyaknya kemunculan ekor. Berapakah probabilitas muncul 3 ekor dari 5 pelemparan tersebut?

 Karakteristik Variabel Random Hipergeometri

1.  Percobaan terdiri dari penarikan n elemen secara random tanpa pengembalian dari suatu set elemen sebanyak N. Dari percobaan tersebut dapat dinyatakan r yang merupakan S (untuk sukses) dan (-r) yang merupakan F (untuk gagal)

2.  Ukuran sampel n relatif besar dibandingkan dengan banyaknya elemen N dalam populasi, yaitu n / N > 0,05

3.  Variabel random hipergeometrik, X adalah banyaknya S yang terambil dalam n elemen.

Distribusi Poisson

Banyaknya kejadian yang terjadi dalam interval /selang

·      kejadian per unit —  Waktu, panjang, area

·      Contoh

a)    Banyaknya pelanggan yang datang dalam 20 menit

b)   Banyaknya gol dalam suatu liga sepakbola per tahun.

c)    Banyaknya mesin pabrik yang rusak dalam satu hari

Karakteristik Variabel Random Poisson

1.   Percobaan terdiri dari menghitung banyaknya sukses yang terjadi dari suatu kejadian khusus yang terjadi selama suatu unit waktu tertentu, atau dalam suatu area atau volume tertentu (atau berat, jarak, atau sembarang unit pengukuran)

2. Probabilitas bahwa suatu kejadian terjadi dalam suatu unit pengukuran tertentu adalah sama untuk seluruh unit

3.  Banyaknya kejadian yang terjadi dalam satu unit pengukuran independen terhadap banyaknya kejadian yang terjadi dalam unit-unit lain.

4.    Rataan (atau harapan) banyaknya kejadian dalam suatu unit akan dinotasikan dengan huruf Yunani, 

  Soal

    Seorang karyawan administrasi bertugas memasukkan 75 kata per menit dengan 6 error/kesalahan per jam. Berapakah probabilitas ia membuat 0 kesalahan dalam 255 transaksi kata yang dibuat?\

Jawaban : 

Menentukan \(\lambda \) terlebih dahulu

Menentukan P = 0