PERMUTASI

A. Permutasi dari n elemen, tiap permutasi terdiri dari n elemen

Jika ada unsur yang berbeda diambil n unsur, maka banyaknya susunan (permutasi) yang berbeda dari n unsur tersebut adalah :

Contoh :

Untuk menyambut sebuah pertemuan delegasi negara yang dihadiri oleh lima negara, panitia akan memasang kelima bendera dari lima negara yang hadir. Banyak cara panitia menyusun kelima bendera tersebut adalah.....

Jawaban :
Dari lima bendera yang ada, berarti n = 5, maka banyak susunan bendera yang mungkin yaitu:

5! = 5.4.3.2.1 = 120 cara.       

B.  Permutasi dari unsur umum berbeda

Permutasi r dari n elemen adalah jumlah kemungkinan urutan r buah elemen yang dipilih dari n buah elemen, dengan  \(r \le n\), yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada 

elemen yang sama. Dilambangkan dengan \(_n{P_r},P_n^r\) , atau P (n,r). (Syaratnya yaitu urutan harus di perhatikan)

Contoh Soal :

Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari 2 angka yang dapat disusun dari angka-angka 4,5,6,7 dan 8 tanpa pengulangan

Jawaban :

Banyaknya unsur tersedia n = 5, maka permutasi yang terdiri dari 2 unsur dapat ditentukan sebagai berikut:

\(_5{P_2} = \frac{{5!}}{{\left( {5 - 2} \right)!}} = \frac{{5!}}{{3!}} = \frac{{5.4.3.2.1}}
{{3.2.1}} = 20\)

C.  Permutasi dengan beberapa unsur yang sama

Banyaknya permutasi n unsur yang memuat r unsur sama \(\left( {r \le n} \right)\) adalah

\(P = \frac{{n!}}{{r!}}\), artinya bahwa permutasi ini digunakan ketika ada unsur yang sama. Banyaknya permutasi n unsur yang memuat \({r_1}\) unsur sama, \({r_2}\)  unsur sama, \({r_3}\) unsur sama,… \({r_n}\) unsur sama adalah:

\(P = \frac{{n!}}{{{r_1}!{r_2}!{r_3}!....{r_n}!}}\) dengan, \({r_1} + {r_2} + {r_3} + ....{r_n} \le n\)

Jika tersedia n unsur yang memuat  unsur yang sama, maka \({r_1} + {r_2} + {r_3} + ....{r_n}\) banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur tersedia adalah:

Keterangan :

n   = banyaknya elemen seluruhnya
\({r_1}\) = banyaknya elemen kelompok 1 yang sama
\({r_2}\)= banyaknya elemen kelompok 2 yang sama
\({r_3}\)= banyaknya elemen kelompol 3 yang sama

\({r_n}\)= banyaknya elemen kelompok \({r_n}\) yang sama \( \to \) n = 1,2,3...

Contoh Soal 1

Berapa banyaknya permutasi dari huruf-huruf pada kata J A K A R T A

Jawavan :

Banyaknya unsur tersedia n =7
Banyaknya unsur yang sama r = 3 (huruf A)

\(P = \frac{{7!}}{{3!}} = \frac{{7.6.5.4.3.2.1}}{{3.2.1}} = 840\)

Jadi banyaknya permutasi yang dapat dibentuk adalah 840

Contoh Soal 2:

Banyak cara untuk menyusun dari kata ”BASSABASSI” adalah…

Jawab:

Dari kata ”BASSABASSI”, banyak huruf (n) = 10

\({r_1}\) = huruf B = 2

\({r_2}\) = huruf A = 3

\({r_3}\) = huruf S = 4

\({r_4}\) = huruf I = 1

\({P_{\left( {10,2,3,4,2} \right)}} = \frac{{10!}}{{2!3!4!2!}} = \frac{{10.9.8.7.6.5.4!}}{{2.1.3.2.1.4!.2.1}} = 260\)

Jadi, banyaknya cara untuk menyusun kata BASSABASSI adalah 260 cara

D.  Permutasi Skill

Permutasi Siklis adalah permutasi yang cara menyusunnya melingkar, sehingga banyaknya menyusun n unsur yang berlainan dalam lingkaran ditulis:

Contoh Soal 1 :

Pada rapat pengurus OSIS SMA Cendekia dihadiri oleh 6 orang yang duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Berapakah susunan yang dapat terjadi?

Jawaban :

\(\begin{array}{l}{P_s} = \left( {n - 1} \right)!\\\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array} = \left( {6 - 1} \right)!\\\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array} = 5!\\\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array} = 5.4.3.2.1 = 120\end{array}\)

Jadi, banyak susunan yang dapat terjadi dalam meja bundar adalah sebanyak 120 cara

Contoh Soal 2 :

Dari 5 orang anggota keluarga akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar, banyak cara susunan yang dapat dibuat dari 5 orang tersebut adalah...

Jawaban :

\(\begin{array}{l}{P_s} = \left( {n - 1} \right)!\\\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array} = \left( {5 - 1} \right)!\\\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array} = 4!\\\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array} = 4.3.2.1 = 24\end{array}\)

Jadi, banyak susunan yang dapat di bentuk dari meja bundar tersebut adalah 24 cara

E.  Permutasi Berulang
     Jika tersedia n unsur yang berbeda, maka banyaknya permutasi berulang r unsur yang diambil 

dari n unsur yang tersedia adalah:

Contoh Soal 1 :

Berapakah banyaknya bilangan yang terdiri dari 2 angka yang disusun dari angka 2,3 dan 5 jika angka-angka yang tersedia boleh ditulis ulang
Penyelesaian :
Banyaknya unsur n= 3 dan r = 2, maka :

\({P_r} = {n^r} = {3^2} = 9\)