Peluang


Pengertian Probabilitas
Probabilitas atau Peluang adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dapat juga diartikan sebagai harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi, di antara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi. Probabilitas dilambangkan dengan P.
  • Contoh 1: Sebuah mata uang logam mempunyai sisi dua (H & T) kalau mata uang tersebut dilambungkan satu kali, peluang untuk keluar sisi H adalah \(\frac{1}{2}\)
  • Contoh 2: Sebuah dadu untuk keluar mata ‘lima’ saat pelemparan dadu tersebut satu kali adalah 1/6 (karena banyaknya permukaan dadu adalah 6).
Konsep Dasar Peluang
1.    Percobaan :
Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.
2.    Hasil (outcome):
Suatu hasil dari sebuah percobaan.
3.    Event (kejadian/peristiwa):
Kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.

Contohnya :




Pendekatan peluang :
·      Pendekatan Klasik/apriori/teoritis
·      Pendekatan empiris
·      Pendekatan Subjektif


Pendekatan Klasik/apriori/teoritis


Pendekatan klasik didasarkan pada sebuah peristiwa mempunyai kesempatan untuk terjadi sama besar (equally likely). Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan sebagai suatu rasio antara jumlah kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil (rasio peristiwa terhadap hasil).
Probabilitas suatu peristiwa = Jumlah kemungkinan hasil / Jumlah total kemungkinan hasil



Jika ada a kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A dan ada b kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A, serta masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan saling asing, maka probabilitas/peluang bahwa akan terjadi a adalah:




Contoh :
Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 orang pria (A) dan 15 orang wanita (B). Jika yang diterima hanya 1, berapa peluang bahwa ia merupakan wanita?
Jawab:





Contoh :
Berapa  peluang munculnya 2 angka yang sama pada pelemparan dua buah dadu ?

Jawaban : 



Jadi, peluang munculnya 2 angka yang sama adalah 1/6


Pendekatan Klasik/apriori/teoritis




Catatan :

      Setiap peristiwa mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi.
      Berdasarkan logika/teori sebelum peristiwanya terjadi.
      Asumsi :peristiwa terjadi pasti


Pendekatan Relatif

Peluang suatu kejadian tidak dianggap sama, tergantung dari berapa banyak suatu kejadian terjadi atau menghitung peluang kejadian berdasarkan kejadian/data masa lalu.
Besarnya probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa banyak suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan atau kegiatan yang dilakukan. probabilitas dapat dinyatakan sebagai berikut :
Probabilitas kejadian relatif = Jumlah peristiwa yang terjadi / Jumlah total percobaan atau kegiatan

Jika pada data sebanyak N terdapat a kejadian yang bersifat A, maka probabilitas/peluang akan terjadi A untuk N data adalah: 


Contoh:

Dari hasil penelitian diketahui bahwa 5 orang karyawan akan terserang flu pada musim dingin. Apabila lokakarya diadakan di Puncak, berapa probabilitas terjadi 1 orang sakit flu dari 400 orang karyawan yang ikut serta?

Jawab:


Catatan :
·  Peluang terjadinya suatu kejadian di masa yang akan datang ditentukan berdasarkan frekuensi kejadian di masa lalu.
contoh: tahun 2010, ada 10.000 orang datang ke puskesmas, terdapat 100 orang harus dirujuk ke RS. P=0,01
·   Peluang terjadinya suatu kejadian di masa yang akan datang ditentukan berdasarkan frekuensi kejadian di masa lalu.
contoh: tahun 2010, ada 10.000 orang datang ke puskesmas, terdapat 100 orang harus dirujuk ke RS. P=0,01


Pendekatan Subjektif


Peluang suatu kejadian didasarkan pada penilaian pribadi yang dinyatakan dalam suatu derajat kepercayaan. Berdasarkan tingkat kepercayaan seseorang terhadap suatu kejadian. Orang yang memiliki probabilitas 0 = orang pesimis, probabilitas 1 = orang optimis.
Besarnya suatu probabilitas didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan. Penilaian subjektif diberikan terlalu sedikit atau tidak ada informasi yang diperoleh dan berdasarkan keyakinan.


Konsep Dasar dan Hukum Probabilitas
Dalam mempelajari hukum dasar probabilitas berturut-turut akan dibahas hukum penjumlahan dan hukum perkalian.
1. Hukum Penjumlahan
Hukum penjumlahan menghendaki peristiwa saling lepas (mutually exclusive) dan peristiwa/kejadian bersama (non mutually exclusive).
§  Saling meniadakan (mutually exclusive)
Apabila suatu peristiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan.
Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang saling meniadakan:
P (A U B) = P (A atau B)= P (A) + P (B)


Contoh:
Probabilitas untuk keluar mata 2 atau mata 5 pada pelemparan satu kali sebuah dadu adalah:
P(2 U 5) = P (2) + P (5) = 1/6 + 1/6 = 2/6
§  Kejadian Bersama (Non Mutually Exclusive)
Peristiwa Non Mutually Exclusive (Joint) dua peristiwa atau lebih dapat terjadi bersama-sama (tetapi tidak selalu bersama).
Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang tidak saling meniadakan:

Dua Kejadian
P (A U B) =P(A) + P (B) – P(A ∩ B)
Tiga Kejadian
P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)



Peristiwa terjadinya A dan B merupakan gabungan antara peristiwa A dan peristiwa B. Akan tetapi karena ada elemen yang sama dalam peristiwa A dan B, Gabungan peristiwa A dan B perlu dikurangi peristiwa di mana A dan B memiliki elemen yang sama. Dengan demikian, probabilitas pada keadaan di mana terdapat elemen yang sama antara peristiwa A dan B maka probabilitas A atau B adalah probabilitas A ditambah probabilitas B dan dikurangi probabilitas elemen yang sama dalam peristiwa A dan B.
§  Peristiwa Pelengkap (Complementary Event)
Apabila peristiwa A dan B saling melengkapi, sehingga jika peristiwa A tidak terjadi, maka peristiwa B pasti terjadi.  Peristiwa A dan B         dikatakan sebagai peristiwa komplemen. Rumus untuk kejadian-kejadian yang saling melengkapi :

P(A)+P(B) = 1 atau P(A) = 1 – P(B)

2. Hukum Perkalian
  • Hukum Bebas (independent)
    Hukum perkalian menghendaki setiap peristiwa adalah independen, yaitu  suatu peristiwa terjadi tanpa harus menghalangi peristiwa lain terjadi. Peristiwa A dan B independen, apabila peristiwa A terjadi tidak menghalangi terjadinya peristiwa B.

P(A ∩ B) = P (A dan B) = P(A) x P(B)

Contoh soal 1:
Sebuah dadu dilambungkan dua kali, peluang keluarnya mata 5 untuk kedua kalinya adalah:
P (5 ∩ 5) = 1/6 x 1/6 = 1/36
Contoh soal 2:
Sebuah dadu dan koin dilambungkan bersama-sama, peluang keluarnya hasil lambungan berupa sisi H pada koin dan sisi 3 pada dadu adalah:
P (H) = ½, P (3) = 1/6
P (H ∩ 3) = ½ x 1/6 = 1/12
§  Peristiwa Bersyarat (Tidak Bebas) / (Conditional Probability)
Probabilitas bersyarat adalah probabilitas suatu peristiwa akan terjadi dengan ketentuan peristiwa yang lain telah terjadi. Peristiwa B terjadi dengan syarat peristiwa A telah terjadi.

P(A dan B) = P(A x P(B|A) atau P(B dan A) = P(B) x P(A|B)



Seorang mahasiswa mengambil 2 mata kuliah (FI
dan KI). Peluang lulus kuliah FI adalah 3/5 dan peluang lulus
kuliah KI adalah 2/3. Peluang lulus kedua mata kuliah
tersebut adalah 5/6. Berapa peluang lulus paling sedikit satu
mata kuliah?

Jawaban:
Dik : 
        A       = kejadian lulus mata kuliah FI = P(A) = \(\frac{3}{5}\)
        B       = kejadian lulus mata kuliah KI = P(B) = \(\frac{2}{3}\)
        A ∩ B = kejadian lulus FI dan KI = P(A ∩ B) = \(\frac{5}{6}\)
Ditanya : P(A ∪ B) = ?
Penyelesaian : 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
               = \(\frac{3}{5}\) + \(\frac{2}{3}\) – \(\frac{5}{6}\)
               = \(\frac{18}{30}\) + \(\frac{20}{30}\) – \(\frac{25}{30}\)
               = \(\frac{13}{30}\)

Contoh :
Dari 100 orang mahasiswa yang diwisuda, ditanya apakah
akan bekerja atau kuliah S2 setelah wisuda. Ternyata 50 orang
berencana akan bekerja, 30 orang berencana akan S2, dan 36 orang
berencana salah satu dari keduanya (bekerja atau S2). Seorang
wisudawan dipilih secara acak. Berapa peluang wisudawan yang
terpilih berencana bekerja sambil kuliah S2?

Jawaban:

Diketahui :
A = kejadian memilih wisudawan yang akan bekerja àP(A) = \(\frac{50}{100}\)

B = kejadian memilih wisudawan yang akan S2 àP(B) = 30/100

 B = kejadian memilih wisudawan yang akan bekerja atau S2àP(A  B) = \(\frac{36}{100}\)

Ditanyakan : P(A B) = ?
Penyelesaian :
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A  B)

\(\frac{50}{100}\) + \(\frac{30}{100}\) – \(\frac{36}{100}\) = \(\frac{44}{100}\) = 0.44

Komentar