Pengertian Kombinasi
Kombinasi merupakan sebuah cara menggabungkan beberapa objek dari suatu kumpulan tanpa memperhatikan urutannya. Untuk lebih jelasnya silahkan perhatikan gambar dibawah ini :
Karena pada kombinasi ini tidak memperhatikan urutannya oleh karena itu disinilah letak dari perbedaan antara kombinasi dengan permutasi. Pada kombinasi, susunan XYXY yaitu sama dengan susunan YXYX, sedangkan pada permutasi susunan XYXY dan susunanYXYX susunanannya dianggap susunan yang berbeda.Pada kombinasi menggunakan lambang notasi yaitu CC. jadi apabila disebutkan nn adalah kombinasi rr, maka kita bisa menulisnya menjadi nCknCk. Rumus kombinasi adalah sebagai berikut :
Keterangan :
C = Kombinasi atau Combinasi
n = Jumlah banyaknya objek
k =Jumlah banyaknya objek yang diperintahkan
Kombinasi Pengulangan
Jika pada urutannya tidak diperhatikan dan sebuah objek dapat dipilih lebih dari satu kali, maka jumlah dari kombinasi yang ada yaitu:
Yang mana (n) yaitu jumlah dari sebuah objek yang dapat dipilih dan (r) merupakan jumlah yang harus dipilih. Misalnya jika kamu sedang pergi ke suatu tempat seperti toko donat. Pada Toko itu menyediakan berupa 10 jenis donat yang berbeda. Jika Kamu ingin membeli tiga buah donat yang ada pada took itu.
Maka kombinasi yang akan dihasilkan yaitu :
\(\frac{{\left( {10 + 3 - 1} \right)!}}{{3!\left( {10 - 1} \right)!}} = 220\begin{array}{*{20}{c}}{Kombinasi}\end{array}\)
Kombinasi Tanpa Pengulangan
Ketika pada suatu urutannya tidak diperhatikan akan tetapi pada setiap objek yang ada hanya bisa dipilih satu kali maka jumlah dari kombinasi yang ada yaitu:
Yang mana (n) yaitu suatu jumlah dari objek yang bisa dipilih sedangkan (r) yaitu jumlah yang harus kita pilih.
Contoh :
Andi memiliki 5 buah pensil warna dengan warna yang berbeda seperti ; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Dan Andi ingin membawanya ke sekolah. Tetapi Andi hanya boleh membawa dua buah pensil warna saja.lalu,ada berapa banyak carakah untuk mengkombinasikan setiap pensil warna yang ada? Yaitu dengan menggunakan sebuah rumus di atas maka ada 5!
Jawaban :
\(\frac{{5!}}{{\left( {5 - 2} \right)!\left( 2 \right)!}} = 10\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}buah\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}kombinasi\)
Contoh Soal Kombinasi
Contoh Soal No 1
Di dalam suatu kelas terdiri dari 7 orang murid yaitu 4 orang murid perempuan dan 3 orang murid laki-laki. Dan dari kelas itu akan dipilih 3 orang murid secara acak, maka berapakah peluang yang terpilih ketiga-tiganya perempuan itu yaitu…
\(\begin{array}{l}A.\frac{2}{{91}}\\B.\frac{1}{{12}}\\C.\frac{1}{3}\\D.\frac{1}{5}\\E.\frac{3}{5}\end{array}\)
Pembahasannya:
Di dalam permasalahan ini, sebuah urutannya tidak menjadi suatu hal yang perlu kita perhatikan, sehingga rumus yang digunakan adalah rumus dari kombinasinya.
Jadi banyaknya cara untuk memilih 3 orang murid dari 10 orang murid di kls tersebut secara acak yaitu (misalnya yaitu dengan variabel n) adalah:
\(\begin{array}{l}n{ = _{10}}{C_3}\\n = \frac{{10!}}{{7!.3!}}\\n = \frac{{10.9.8}}{{3!}}\\n = \frac{{10.9.8}}{{3.2.1}}\\n = 120\end{array}\)
Jadi banyakNya cara untuk memilih 3orang murid perempuan dari 7 orang murid perempuan (misalnya dengan variabel k) yaitu:
\(\begin{array}{l}n{ = _7}{C_3}\\n = \frac{{7!}}{{4!.3!}}\\n = \frac{{7.6.5.4!}}{{4!.3!}}\\n = \frac{{7.6.5}}{{3.2.1}}\\n = 35\end{array}\)
Peluang untuk yang terpilih bahwa ketiga-tiganya perempuan ialah
\(\begin{array}{l}P\left( {3pi} \right) = \frac{k}{n}\\P\left( {3pi} \right) = \frac{{35}}{{120}} = \frac{7}{{24}}\end{array}\)
Jawaban: A
Contoh Soal No 2
Maka kombinasi yang akan dihasilkan yaitu :
\(\frac{{\left( {10 + 3 - 1} \right)!}}{{3!\left( {10 - 1} \right)!}} = 220\begin{array}{*{20}{c}}{Kombinasi}\end{array}\)
Kombinasi Tanpa Pengulangan
Ketika pada suatu urutannya tidak diperhatikan akan tetapi pada setiap objek yang ada hanya bisa dipilih satu kali maka jumlah dari kombinasi yang ada yaitu:
Yang mana (n) yaitu suatu jumlah dari objek yang bisa dipilih sedangkan (r) yaitu jumlah yang harus kita pilih.
Contoh :
Andi memiliki 5 buah pensil warna dengan warna yang berbeda seperti ; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Dan Andi ingin membawanya ke sekolah. Tetapi Andi hanya boleh membawa dua buah pensil warna saja.lalu,ada berapa banyak carakah untuk mengkombinasikan setiap pensil warna yang ada? Yaitu dengan menggunakan sebuah rumus di atas maka ada 5!
Jawaban :
\(\frac{{5!}}{{\left( {5 - 2} \right)!\left( 2 \right)!}} = 10\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}buah\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}kombinasi\)
Contoh Soal Kombinasi
Contoh Soal No 1
Di dalam suatu kelas terdiri dari 7 orang murid yaitu 4 orang murid perempuan dan 3 orang murid laki-laki. Dan dari kelas itu akan dipilih 3 orang murid secara acak, maka berapakah peluang yang terpilih ketiga-tiganya perempuan itu yaitu…
\(\begin{array}{l}A.\frac{2}{{91}}\\B.\frac{1}{{12}}\\C.\frac{1}{3}\\D.\frac{1}{5}\\E.\frac{3}{5}\end{array}\)
Pembahasannya:
Di dalam permasalahan ini, sebuah urutannya tidak menjadi suatu hal yang perlu kita perhatikan, sehingga rumus yang digunakan adalah rumus dari kombinasinya.
Jadi banyaknya cara untuk memilih 3 orang murid dari 10 orang murid di kls tersebut secara acak yaitu (misalnya yaitu dengan variabel n) adalah:
\(\begin{array}{l}n{ = _{10}}{C_3}\\n = \frac{{10!}}{{7!.3!}}\\n = \frac{{10.9.8}}{{3!}}\\n = \frac{{10.9.8}}{{3.2.1}}\\n = 120\end{array}\)
Jadi banyakNya cara untuk memilih 3orang murid perempuan dari 7 orang murid perempuan (misalnya dengan variabel k) yaitu:
\(\begin{array}{l}n{ = _7}{C_3}\\n = \frac{{7!}}{{4!.3!}}\\n = \frac{{7.6.5.4!}}{{4!.3!}}\\n = \frac{{7.6.5}}{{3.2.1}}\\n = 35\end{array}\)
Peluang untuk yang terpilih bahwa ketiga-tiganya perempuan ialah
\(\begin{array}{l}P\left( {3pi} \right) = \frac{k}{n}\\P\left( {3pi} \right) = \frac{{35}}{{120}} = \frac{7}{{24}}\end{array}\)
Jawaban: A
Contoh Soal No 2
Pada sebuah kotak terdapat 20 buah bola yang terdiri dari: 8 buah bola berwarna merah, 7 buah bola berwarna putih, dan sisa bola berwarna hitam. Jikakita ambil 2 buah bola dari kotak tersebut,maka berapa banyak carakah untuk medapatkan dua buah bola berwarna merah ?
Jawaban :
Diketahui :
n = 8
k = 2
Ditanya? :
Banyak cara pengambilan dua bola warna merah ???
Maka penyelesaiannya adalah:
\[\begin{array}{l}_n{C_k} = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}\\_8{C_2} = \frac{{8!}}{{\left( {8 - 2} \right)!2!}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array} = \frac{{8!}}{{\left( {8 - 2} \right)!2!}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array} = \frac{{8!}}{{6!.2!}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array} = \frac{{8 \times 7 \times 6!}}{{6!.2!}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array} = \frac{{8 \times 7}}{{2 \times 1}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array} = \frac{{56}}{2}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array} = 28\end{array}\]
\[\begin{array}{l}_n{C_k} = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}\\_8{C_2} = \frac{{8!}}{{\left( {8 - 2} \right)!2!}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array} = \frac{{8!}}{{\left( {8 - 2} \right)!2!}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array} = \frac{{8!}}{{6!.2!}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array} = \frac{{8 \times 7 \times 6!}}{{6!.2!}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array} = \frac{{8 \times 7}}{{2 \times 1}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array} = \frac{{56}}{2}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array} = 28\end{array}\]
Maka, banyaknya cara untuk mengambil dua buah bola yang berwarna merah yaitu 28 cara.
Itulah makalah materi lengkap tentang peluang matematika khsusunya rumus kombinasi dan contoh soal beserta jawabannya, semoga manfaat
Komentar
Posting Komentar